Proposición 11

Enunciado

Un espacio topológico es T1 si, y sólo si, los conjuntos unipuntuales son cerrados.

Demostración

$(⟹)$ Sea $x \in X$ . Tomamos un $y \in X$ arbitrario con $x \neq y$ . Por ser $X$ $T_{1}$ sabemos que existe un entorno $V_{y} \in E (y)$ tal que $x \notin V$ . Vemos ahora que

⋃_{y \neq x \in X} V_{y} = X ∖ {x} ⟹ X ∖ {x} es abierto ⟹ {x} es cerrado .

$(⟸)$ Dados $x \neq y$ , como ${x}$ es cerrado, su complementario $U = X ∖ {x}$ es abierto; por tanto, $U \in E (y)$ con $x \notin U$ .

Corolario 2

En un espacio $T_{1}$ o Hausdorff, todos los subconjuntos finitos son cerrados.